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  地质工程专业硕士研究生电子教案之土体弹塑性力学 李建中 2008-2-24 目录 绪论1.1 土体弹塑性力学研究内容 1.2 土体力学性能与测试方法 1.3 土体应力-应变特性 1.4 土力学发展的历史、现状与未来 应力与应变分析2.1 应力张量及分解 2.2 应力不变量 2.3 广义剪应力与应力强度 2.4 主应力空间与π 平面 2.5 罗德参数 2.6 不同应力之间的关系 2.7 应变 2.8 应变张量分析 2.9 应变率、应变增量与应力增量 2.10 应力路径与应变路径 土的应力-应变特性3.1 无侧限压缩试验 3.2 单轴侧限压缩试验 3.3 直剪试验 3.4 三轴试验 3.5 土的粘塑性 土的弹性模型4.1 弹性应变能与弹性势 4.2 线 非线 Ducan-Zhang 模型 4.5 Izumi-Kamemura 模型 塑性理论5.1 屈服与破坏 5.2 屈服准则 5.3 全量理论与增量理论 5.4 加载条件与加、卸载准则 5.5 Druck 公设 5.6 公设5.7 流动法则 5.8 硬化与软化 土塑性力学6.1 Cambridge 模型 6.2 Lade-Ducan 模型 6.3 沈注江模型 6.4 D-P 模型 土的粘性7.1 蠕变与松弛 7.2 土的粘塑性 7.3 加载速率效应与规一化 7.4 粘性理论模型 7.5 经验公式 Taylor 模型 Singh 模型 Mitchell 模型 Isotach 模型与Tesra 模型 7.6 内时模型 岩土工程实际问题8.1 地基承载力问题 8.2 边坡稳定问题 8.3 桩土相互作用问题 8.4 加筋土的力学问题 1.1 土弹塑粘性力学研究内容 土弹塑粘性力学研究的主要内容是土体材料的弹性、塑性以及粘性特征,包括研究这些特征的试验方法、描述这些特 征的本构方程以及这些特征在涉及到土体力学的岩土工程实际中的应用等方面。 1.2 土的力学性能与测试方法 500X500mm 普通三轴仪空心圆柱试验台 空心圆柱试验 超大型三轴试验台 超大型三轴试验 振动试验台 1.3 土体应力-应变特性 弹性 塑性 粘性 1.4 土力学发展的历史、现状与未来 连续介质? 非饱和 大应变 理论基础: 计算方法: 应力与应变分析2.1 应力张量及分解 空间点的应力在直角坐标中,空间点的应力有九个分量(图2-1),即: xx 。根据剪应力相等原理,其中的三对剪应力( xy yx yzzy xzzx )只要用三个剪应力(xy 或者yx )来表示即可。因此,空间点的应力状态可表示为: xx xy xz xy yy yz xz yz zz xxyx zx yx yy zy zx zy zz 或者也可以用张量 ij 表示为:11 12 13 21 22 23 31 32 33 ijxx xy xz xx yx zx xy yy yz yx yy zy xz yz zz zx zy zz (2-1)由于土体一般不能承受拉应力,为计算方便,在土力学中,我们定义压应力为正。 图2-1空间点的应力状态 由有效应力原理可知,土体总应力等于有效应力与孔隙水压力之和,即: (2-2a)写成张量形式为: ijij ij (2-2b)其中 ij 为Kronecker符号: (2-3)表示单位张量。 ij 由于在以后的讨论中,涉及到土体应力都是指有效应力,所以,除非特别说明,本书中采用ij 应力球张量与偏张量虽然空间点的应力可以采用(2-1)的普通形式来表示,但在对具体问题进行分析求解时,或者进行试验验证时,我们很难 或者根本就不可能知道(2-1)中每一个应力分量。这种情况下,我们希望用试验能够测量得到或者计算简便的应力表示形式 来代替(2-1),也就说用尽量少(或者是尽量简单)的应力分量来表示(2-1)中的六个应力分量。这一过程就是应力张量的分 根据张量分析理论,张量ij 都可以表示为:ij ijij 1112 13 21 22 23 31 32 33 11 12 13 21 22 23 31 32 33 (2-5b)其中, 1122 33 (2-6)其中 ii 为求和标记,相关规则可参阅本书的附录或张量分析参考书。为应力张量的偏张量,由偏应力与剪应力组成: ij ijij 1112 13 11 21 22 23 21 31 32 33 31 1213 22 23 32 33 (2-7b)所以空间点的应力可以分解为图2-2 所示。 xx xxyy zz xxxz yx 图2-1应力张量的分解 之所以对应力张量采用这种分解方法,是因为在传统的弹性理论中,认为应力的球张量分量只产生弹性体应变,而应 力偏张量只产生弹性剪应力,这样就可以把体应变与剪应变分开,单独建立由球应力张量与体应变张量,偏应力与剪应变 之间的本构方程,使计算大为简便。对于土体材料,虽然球应力分量与剪应变以及偏应力与体积应变有耦合作用,也可以 通过对应力张量进行球应力张量与偏应力张量的分解,然后分别考虑球应力张量对偏应变以及偏应力张量对体积应变的耦 合程度建立本构方程,可以大大简化本构方程及其求解。 2.2 应力张量的不变量 主平面与主应力所谓主平面就是剪应力为零的平面。主应力就是主平面上的正应力。主平面与主应力的提出,主要是为了进行应力分 析与本构方程建立时的简便。要求解空间点的主平面与主应力可以采用如下方法。 下面求解空间点O 的主平面与主应力。设已知任意斜面ABC 上的正应力为 ,斜面ABC的法线可以用 向量n 表示(如图2-3),且: ,则斜面ABC为空间点O 的主平面,σ 为空间点的主应力。 如果该斜面的剪应力τ 下面利用力平衡方程求出主应力。 由上面的假设知道,主应力在x,y,z 各轴的分量分别为: nx ,剪应力在x,y,z各轴的分量都为零。 由于是主平面,所以τ 同样面OBC,OAC 以及OAB 上的正应力与剪应力在x,y,z 各轴的分量分别为: nx xx yx zx ny xy yy zy nz xz yz zz yxzx xy yy zyxz yz zz (2-10)根据静力力平衡原理,由方程(2-9)和(2-10)可以得到: (2-11) 由于任意斜面的法线方向余弦应该满足: (2-12)方程(2-11)为l,m,k 的齐次方程组。如果主平面与主应力存在,则l,m,k 一定存在非零解。要使l,m,k zxzy zz yxxy yy xzyz (2-13)展开方程(2-13)得到: (2-14)其中: xxyy zz xx yx yy zy xx zx xy yy yz zz xz xx yx zx xy yy zy xz yz zz ijij (2-15)解出方程(2-14)得到的三个解即为空间点O 的三个主应力。 以上求解过程也可以用张量表示。方程(2-11)采用张量可以表示为: (2-16)其中的为空间点的主应力值,是个标量。因为主应力是剪应力为零的主平面上的正应力,所以其方向是确定的,完全 可以用标量来表示。 要使方程(2-16)中的有非零解,其充分必要条件为: ijij (2-17)方程(2-17)与方程(2-13)完全相同,因此同可以得到空间点O 的三个主应力。 空间点的偏应力同样也有偏主应力 应力张量的不变量在求解空间点主应力的过程中,我们得到了方程(2-15)。假设我们已经知道空间点O 的三个主应力值分别为σ 显然对于确定的空间点O这三个值是确定值,而且它们是方程(2-14)的三个根,即: (2-18)要满足方程(2-18)中的恒等式,新葡萄京娱乐场app就必须使恒等式两边相同次数 (2-19)由于空间点O 的三个主应力 应力张量还有另外三个不变量:ii ijji ijjk ki iiij ji ij jk ki (2-20)在以后章节的讨论中我们会发现应力张量的不变量是弹性力学中常用的重要参数。 偏应力张量也存在不变量。按照求应力张量不变量的方法,同样可以求得偏应力张量的三个不变量: 1122 33 1122 22 33 33 11 12 23 31 1122 22 33 33 11 12 23 31 1122 33 12 23 31 1122 33 12 23 31 11 23 22 13 33 12 ijij ij (2-21)偏应力的三个不变量也可以用主应力或者应力不变量来表示: (2-22)方程(2-21)只给出了应力不变量表示的一种形式,其它形式读者可以自己推导。 2.3 剪应力 八面体应力因为有明确的物理与几何意义,而且计算较为简便,在弹塑性力学中常常会用八面体应力来表示空间点的应力状态。 一般情况下,为了表示空间点 的应力状态,我们采用正六面体的九个应力分量来表示,在某些情况下,为了计算和理解上的简便也可以采用正八面体上的正应力与剪应力来表示。 取空间点O的三个主应力方向为坐标轴方向,通过O点取一个以空间对角线为法线的平面,则此平面与三个主轴夹角均 。这样的平面在三维几何空间共有八个,由这八个平面相交组成了一个空间正八面体(图2-4)。这个正八面体个面上的应力即为八面体应力。 图2-4八面体应力 取八面体的一个面ABC(图2-4),设平面ABC 上受到的正应力为 称为八面体剪应力,作用方向取决于偏应力第三不变量或者 应力Lode 角(详细内容见后续章节)。 (2-24)另一方面,偏应力的第二不变量也可以用八面体剪应力来表示: (2-25)从以上分析可以看出八面体正应力只与应力球张量或者第一不变量有关,八面体剪应力只与偏应力第二不变量有关。 广义剪应力与应力强度广义剪应力是为了把复杂应力状态与简单应力状态联系起来而定义的一种应力表示方法。广义剪应力q 或者应力强度 (2-26)由上式可知,q 的计算非常简单物理意义也明确。例如,在单向压缩时, 。在一些土力学模型中,常常用p-q作坐标轴来描述应力路径或者屈服曲线等。 最大剪应力如果空间点的存在三个不同主应力,且: ,取主应力方向为坐标轴方向,则在正六面体面上的剪应力为零。此时任意外法线为n 的斜面上的正应力用σ 表示,法线)用主应力表示为: (2-28)因为 (2-29)消去 得到: 为最小正应力。斜面的总应力为: (2-32)由于 图2-5摩尔圆与主应力的关系 方程(2-32)代表如下三个摩尔圆的应力范围(图2-5 所示): (2-34)在图2-5 中。任意空间点的应力的三个剪应力的极值为三个圆的半径: (2-36)将方程(2-34)以及所对应的 (2-37)由此可知最大剪应力发生在与相关主应力成45 的方向上。2.4 罗德参数 主应力空间与π平面 在弹性力学中,为了便于分析与计算常常假设坐标轴方向与主应力方向一致,采用这种坐标的空间就叫主应力空间。 有了主应力空间就可以用主应力来表示空间点的应力状态。 在主应力空间里,有一条与三个坐标轴夹角都相等(与坐标轴的夹角等于 ,三个方向余弦都等于 4455 )的直线,即主应力空间的对角线)。在主应力空间的对角线OP 上三个主应力都相等,即 与等压线正交的平面称为偏平面,通过坐标原点的偏平面称为π平面。新葡萄京娱乐场app偏平面的方程为: (2-38)其中 图2-6偏平面与π 平面 (2-39)在有的教材中,新葡萄京娱乐场app把偏平面当成π 平面。现在来求偏平面上的应力OP 在偏平面与等压线上的投影 ijij OP (2-41)空间点P 的应力可以由 应力的罗德参数与罗德角为了分析计算方便在弹塑性力学中常常使用罗德(Lode)参数 MPMP (2-44)根据三个主应力的相对大小的变化,从图 2-7 可以看出,P2 的变化范围是从 P1 P3,因此,罗德参数与罗德角的变化范围是: 投影在π平面上,其结果如图2-8 所示。同时空间点P 的偏应力也可以投影在π 平面上, 其投影为S 图2-8三个主应力在π 平面上的投影,即平面主轴与三个主应力的关系为: 是为了确定空间点偏应力的方向,在π平面上定义的。设从O 的垂线OM,则偏应力在π平面上 的投影OS 与OM的夹角MOS ,并规定夹角MOS顺时针为负,逆时针为正。 表2-1 是在不同加载条件下罗德参数与罗德角的取值。 表2-1 不同加载条件下罗德参数与罗德角 加载条件 应力状态 2.5不同应力之间的关系 前面讨论了空间点应力的不同分解形式。这些不同的形式是为了不同的分析讨论问题的目的、方法以及不同试验方法 而提出的。虽然它们的形式不同,但它们都是空间点应力的表示形式,因而,它们之间可以进行换算。为了以后查阅方便, 本节列出它们之间的关系。 一般来说,空间点的应力状态可以采用表2-1 中七种表示形式中的任何一种。 表2-1 空间点应力状态的不同表示方法 ij 各应力的不同表示形式之间的换算关系见表2-2与表2-3. 2-2应力第一不变量与各正应力之间的关系 1I表2-3 各剪应力及偏应力第二不变量之间的关系 ijij ijij ijij ijij 图2-9另外,三个主应力也可以用其它应力分量表示为: 2.6应变 对于非刚性连续介质来说,有应力就必定产生应变。空间点的应变与应力相似可以用应变张量来表示,而且应变张量 也是对称张量,也可以象应力张量那样有不同的分解方式。 在小变形条件下,应变的九个分量由下式确定: 11 22 33 12 21 23 32 31 13 xyyx yz zy zx xz (2-46)其中 为线应变,xy 为角应变,也称工程剪应变。工程剪应变是变形前后材料几何尺寸中的角度变化。由于空间点的工程剪应变的物理意义用图来表示比较 繁杂,我们只简述一下平面点的工程剪应变的物理意义。如在 xz 平面里,有一材料的微单元变形前为 ABCD,变形后为 dxdz 图2-10则在此变形过程中,微单元ABCD 的应变为: 11 33 31 13 zxxz (2-47)方程(2-46)写成张量形式为: (2-48)其中 表示位移分量 对坐标j 的偏微分。 (2-49)2.7 应变张量分析 应变张量与应力张量都是对称二阶张量,应变张量也可以用不同的方式来表示。在弹塑性力学中,为了本构方程的简 单,在进行应变张量分析时,往往采取与应力张量相同的分析方法,得到与应力张量相对应的应变张量的分量。下面就参 照这一原则对应变张量进行分析。 应变球张量与应变偏张量与应力张量一样,应变张量也可以分解成球张量与偏张量: ijij 1112 13 11 12 13 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 33 (2-51)其中, 11 11 3333 ijij 为应变张量的球张量分量,其物理意义为纯压体应变。在弹性力学中它与应力球张量对应。在土力学中应变球张量除由应力球张量引起外,还与应力偏张量由耦合作用。 1122 33 (2-52)其中 主应变与应变不变量与应力状态研究相同,对于空间点的应变状态,我们也可以寻找三个互相垂直的方向,在这些方向上只有正应变,而 与它们垂直的线段之间没有角度的变化,即剪应变为零。这时称这三个相互垂直方向为主方向,在这三个主方向上的应变 为主应变 (2-53)其中 1122 33 1122 22 33 33 11 12 23 31 1122 33 12 23 31 11 23 22 13 33 12 ijij ii jj ij ij ij (2-54)如果用主应变表示: (2-55)应变张量还有另外三个不变量: ii ijji ijjk ki iiij ji ij jk ki (2-56)应变张量的偏应变也有不变量,称为偏应变不变量、偏应变不变量可由下式求得: 1122 33 1122 22 33 33 11 12 23 31 1122 22 33 33 11 12 23 31 1122 33 12 23 31 11 23 22 31 33 12 iiij ji ij jk ki

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